O número quarenta

Ali-Babá e os quarenta ladrões. A pedra de 40 quilates

Chamava-se Mohildin Ihaia Banabixacar, geômetra e astrônomo, e uma das figuras mais extraordinárias do Islã, o sétimo e último sábio que devia argüir Beremiz. Tinha o nome escrito em cinco mesquitas e os seus livros eram lidos até pelos rumis (cristãos). Seria impossível encontrar-se sob o céu do Islã inteligência mais possante e cultura mais sólida e vasta.

O erudito Banabixacar, na sua linguagem clara e impecável, assim falou:

- Entre as lendas mais famosas citam os narradores a admirável história intitulada "Ali-Babá e os Quarenta Ladrões". Esse número "quarenta” teria sido indicado ao acaso ou foi escolhido em virtude de princípio ou lei puramente matemática? Que relação poderá existir entre o número 40 e os "ladrões"?

A questão proposta era dificílima e delicada. Não se fez esperar, porém, a resposta de Beremiz. O calculista persa formulou-a nos seguintes termos:

- Os ladrões que figuram nas aventuras do lenhador Ali-Babá são em número de 40. Do ponto de vista matemático apresenta esse número uma interpretação muito curiosa, que justifica plenamente a preferência a ele dada pelos narradores antigos. Quarenta! Que faziam os ladrões para juntar riquezas e com elas encher a caverna? Roubavam, isto é, subtraíam Cada roubo correspondia a uma subtração. Uma vez praticado o saque, os ladrões da quadrilha juntavam os objetos roubados; tal operação equivale a uma soma, isto é, a uma adição. Que faziam, pois, os ladrões da lenda? Somavam e subtraíam!

Pois bem, o número 40 é o maior número que, decomposto em quatro partes desiguais, permite com essas partes formar, por meio de somas e subtrações, todos os números inteiros desde 1 até 40. Essas relações mostram que todos os números, desde 1 até 40, podem ser formados unicamente com os quatro elementos 1, 3, 9 e 27 em que foi decomposto o número 40.

(Omitimos aqui a extensa relação que demonstra o enunciado).

Nas quarenta relações que mencionadas podemos observar as seguintes particularidades:

I) A primeira começa por 1, as três seguintes por 3, as nove seguintes por 9 e as vinte e sete últimas por 27;

II) Cada um dos quatro elementos (1, 3, 9 e 27) figura em 27 das quarenta relações distintas.

Existe outro problema, já estudado pelos matemáticos do tempo de Al Karismi, e cuja solução se baseia nessa mesma propriedade do número 40.

Esse problema é o seguinte:

Um mercador tinha uma pedra que pesava 40 artales. Certa vez essa pedra caiu e partiu-se em quatro pedaços. Contrariou-se com isso o mercador. Um calculista que se achava presente sopesou os quatro fragmentos e disse ao mercador: - "Eis uma divisão feliz! Com esses quatro pedaços poderás fazer qualquer pesagem desde 1 até 40".

Pergunta-se: Quanto pesavam os quatro fragmentos da pedra?

A solução é dada precisamente pelos números 1, 3, 9 e 27.

Com esses quatro pedaços podemos obter qualquer pesagem (em unidades inteiras) desde 1 até 40.

O peso de 14 artales, por exemplo, seria obtido colocando-se o peso 27 num dos pratos da balança e os três outros fragmentos menores no outro prato. A diferença de peso é de 14 artales.

Todas as quatro parcelas em que foi decomposto o número 40 são, como já disse, potências de 3. Esse número aparece (e a circunstância é digna de nota) em quase todos os episódios da lenda de Ali-Babá.

Quando o pobre lenhador descobriu a gruta dos ladrões, conduzia três burrinhos carregados de lenha; com auxilio desses três burrinhos trouxe para casa um tesouro precioso. Ainda mais: três ladrões da quadrilha foram mortos pelo chefe por terem sido iludidos pela astúcia de Luz Noturna, que era a escrava predileta e dedicada de Ali-Babá!

O invejoso Cassim, irmão de Ali-Babá, surpreendido no interior da gruta, foi morto pelos ladrões e o seu corpo dividido em 6 pedaços. O número 6 é o dobro de 3, cujas quatro primeiras potências dão a soma 40.

Há, ainda, em relação à frase mágica "Abre-te, sésamo", que desvendava a gruta encantada, relações numéricas dignas de observação.

- Eis outro problema famoso no qual aparece o número 40:

"O historiador Josefo, governador da Galiléia, que resistiu heroicamente ao ataque das legiões de Vespasiano, sendo afinal vencido, refugiou-se numa caverna, com 40 judeus patriotas. Sitiados pelos romanos, preferiram matar-se a se entregarem aos inimigos. Formaram em roda, e contavam 1, 2 e 3, e todo aquele em que caía o número 3 era morto.

Em que lugar devia estar Josefo para escapar a esta horrenda matança?"

A solução deste problema pode ser obtida facilmente com auxílio de um dispositivo prático: basta escrever em roda os 40 números e começando pelo primeiro cancelar com um traço cada número de 3 em 3.

Depois de passar todo o quadro, continuar do mesmo modo a contar, não tomando mais em consideração os números cancelados, porque estes passam a representar os soldados mortos. Findo o trabalho, vê-se que só dois judeus escaparam àquele morticínio: foram os que se achavam nos lugares 16 e 31. Um desses lugares privilegiados escolheu para si o governador Josefo, o qual, em vez de matar o companheiro e depois suicidar-se, resolveu entregar-se com todas as garantias a Vespasiano.

Creio, porém, ter explicado, suficientemente, a significação simbólica do número quarenta numa das lendas mais famosas de nosso imenso tesouro literário.

(“O Homem Que Calculava”)